Introduction

本文章主要用来备忘，内容有:

  • 基本数学符号、算子
  • 基本数学规则

Nabla算子

Del 算子或称 Nabla 算子，在中文中也叫向量微分算子、劈形算子、倒三角算子，符号为 ∇\nabla ，是一个向量微分算子，但本身并非一个向量。

其形式化定义如下：

∇=ddr\nabla ={d \over dr}

在n维空间中，分母 dr 为含 n 个分量的向量，因而 ∇\nabla 本身就是个n维向量算子。

三维情况下：

\nabla = (\frac{\partial }{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial }{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial }{\partial z} \mathbf{k}) $$ 或：

\nabla =(\frac {\partial }{\partial x}, \frac {\partial }{\partial y}, \frac{\partial} {\partial z})

∗∗二维情况∗∗下， **二维情况**下，

\nabla = (\frac{\partial }{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial }{\partial y} \mathbf{j})

或或

\nabla =(\frac {\partial }{\partial x} , \frac {\partial }{\partial y} )

$\nabla$ 作用于不同类型的量，得到的就是不同类型的新量： $\nabla$ 直接作用于函数$F({r})$的梯度，表示为： $\nabla F({r})$（**标量函数的梯度为向量，向量的梯度为二阶张量**……）； $\nabla$ 与非标量函数$F({r})$由点积符号$·$连接，意味着求$F({r})$的散度，表示为： $\nabla · F({r})$； $\nabla$ 与非标量（三维）函数$F({r})$由叉积符号$×$连接，意味着求$F({r})$的旋度，表示为： $\nabla × F({r})$。 ### 范数 **向量范数** - 1-范数：即向量元素绝对值之和

||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|

−2−范数：Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方- 2-范数：Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方

||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}

- $\infty$-范数：即所有向量元素绝对值中的最大值

||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|

- $- \infty$-范数：即所有向量元素绝对值中的最小值 - p-范数：即向量元素绝对值的p次方和的$1/p$次幂

||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}

∗∗矩阵范数∗∗−1−范数：列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值 **矩阵范数** - 1-范数：列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|

−2−范数： - 2-范数：

||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}，\lambda 为 A^TA的最大特征值

- 谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。 - $\infty$-范数：$$||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|$$，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值 - F-范数：$$||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}$$, Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方 - 核范数：$$||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \lambda_i$$ 是A的奇异值。即奇异值之和。 更多理解见文章：[几种范数的简单介绍](https://blog.csdn.net/shijing_0214/article/details/51757564) L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。